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THE ANALYSIS OF COGNITIVE DEMAND AND MATHEMATICAL COMPETENCIES: A CASE STUDY OF THE PYTHAGOREAN THEOREM
(2017) 潘亞衛; Weverton Ataide Pinheiro
無中文摘要
The Critical Phase Curve of Van Der Pol Equation
(國立臺灣師範大學研究發展處, 2001-10-??) 蔡志強; 左台益; Je-Chiang Tsai and Tai-Yih Tso
本文探討Van der Pol 方程式在相平面上一條特殊臨界曲線，記為。它是Van der Pol 方程式在相平面上特定區域中對於極限環的漸進解。本研究證明在相平面的上半平面中，Van der Pol 方程式的極限環與臨界曲線之差至多為，當,。更進一步，可以利用這個結果，證明當時，相平面上任一條Van der Pol 方程式的解軌線從y軸出發且在極限環外部時，當第一次與x=1相交於第四象限之後，其與極限環的差至多為。
The Critical Phase Curve of Van Der Pol Equation
(國立臺灣師範大學研究發展處, 2001-10-??-) 蔡志強; 左台益; Je-Chiang Tsai and Tai-Yih Tso
本文探討Van der Pol 方程式在相平面上一條特殊臨界曲線，記為。它是Van der Pol 方程式在相平面上特定區域中對於極限環的漸進解。本研究證明在相平面的上半平面中，Van der Pol 方程式的極限環與臨界曲線之差至多為，當,。更進一步，可以利用這個結果，證明當時，相平面上任一條Van der Pol 方程式的解軌線從y軸出發且在極限環外部時，當第一次與x=1相交於第四象限之後，其與極限環的差至多為。
van Hiele模式之國中幾何教材設計
(師資培育與就業輔導處, 2002-06-??) 左台益; Tsuo, Tai-i
一元一次不等式的動態視覺化學習環境設計與實作
(2022) 陳昶綸; CHEN, CHANG LUN
本研究以國中二年級數學單元一元一次不等式為主題，目的為幫助未接觸此概念的學生設計動態視覺化一元一次不等式數位學習環境，在未有教師介入的情況下提高其學習成效，本研究的學習環境分為可互動環境與不可互動環境，藉以探討兩者的學習成效與學習感受度差異。活動設計以APOS理論建設假設性的學習軌道，並以體現認知理論為核心，融入多元表徵理論降低認知負荷。本研究採取準實驗研究法，以國中二年級未接觸一元一次不等式的學生為目標，有效樣本100人。實驗組活動內容為進行遊戲操作，對照組則是觀察遊戲展演。主要研究結果如下: 一、學習成效方面，兩個組別基本題皆有進步，實驗組低分數組相對於對照組低分數有顯著進步。二、學習感受度方面，兩組別所有面向皆在3.5分以上，對照組略高於實驗組，但無顯著差異。研究結果顯示，數位學習環境中，對於較為簡單的概念較能發揮體現認知的效果，對於抽象且複雜的概念則需盡可能降低認知負荷或是透過結合手勢等多元表徵才能發揮成效。
一元二次多項式配方法之數位學習環境設計與實作
(2013) 張巧倪; Chang, Chiao-Ni
本研究目的在設計與實作配方法的數位學習環境，並探討使用不同數位學習環境下，學生自學效果之影響。實驗之操弄變項有兩個維度，分別為操作方式（觸控ＶＳ滑鼠）和教學指引（口說指引ＶＳ文字指引）。透過上述操弄變項分為四個實驗組，以檢驗不同數位學習環境下的學習效果。共81位八年級生參與此研究。本研究結果為量化分析和實作成品，其量化分析結果如下：一、初學配方法或低程度的學生使用觸控操作，較有助於學習配方法之過程性技能，幫助學生強化心智表徵與外在表徵的鏈結。二、已學過配方法或高程度的學生使用滑鼠操作，較有助於學習配方法之過程性技能和結構性概念。這些學生不需特別使用觸控操作建立過程性技能，相對的，學生使用滑鼠操作可更進一步的建立結構性概念。三、低程度學生使用口說指引教學，較有助於學習配方法之過程性技能，降低學生無關的認知負荷，並產生有效的認知負荷。四、高程度學生使用文字指引教學，較有助於學習配方法之過程性技能和結構性概念。這些學生除了有配方法之過程性技能，還可透過文句之前後脈絡，進一步建立結構性概念。由上述結果可以得知，本研究設計之數位學習環境皆能幫助學生學習配方法。然而，如何讓低程度學生有結構性概念，而不只停留在過程性技能，還需要加入有效的教學策略，才能促使學生運用表徵做更深層的思考和互動，方能在配方法的數位學習環境中整合過程性技能與結構性概念。
七年級學生在動態數學遊戲中的學習表現與感受-以二元一次方程式圖形為例
(2023) 方琦彰; Fang, Chi-Chang
此次研究係以二元一次方程式圖形為主題，依APOS理論設計一套數學教材並且配合起源分解預設出一條學習軌道來決定學習的內容與順序。配合數學微世界理論，設計具有互動性的動態視覺化數位學習環境。用遊戲的形式呈現教材，讓學生在遊戲中探索並與數學物件互動，藉此瞭解二元一次方程式如何在不同數學表徵之間的轉換而形成直線圖形。利用自己的數學知識探索環境並與視覺化的物件互動以構建數學知識。本研究的學習環境分為實驗組(數學微世界的互動數位學習環境)與對照組(不具有互動性的數學遊戲展演)，藉以探討不同學習環境對七年級學生產生的學習成效與學習感受之影響。本研究採取準實驗研究法，以國中未接觸二元一次方程式圖形之七年級學生為研究對象，進行二節課的學習活動，有效樣本為204人。主要研究結果顯示：一、學習成效方面，兩個組別基礎題皆有進步，實驗組整體比對照組整體有顯著進步。實驗組低學習表現比對照組低學習表現有顯著進步，實驗組高學習表現比對照組高學習表現未達顯著差異。二、教材學習感受方面，學習策略面向實驗組整體邊際顯著高於對照組整體。三、軟體操作學習感受方面，題項＂我覺得使用這套軟體學習二元一次方程式圖形比之前上課來得容易懂。＂實驗組整體顯著高於對照組整體。研究結果顯示，數學微世界學習環境中，對於低學習表現的學生較能發揮學習的效果，適合作為奠基進教室的教材。因為不需要老師的教學介入，所以可以做為自主學習的教材。
不同媒介工具影響學生建構心像及連結符號表徵之研究
(2007) 李健豪
本研究旨在探討個體在不同媒介工具下，其心像的建構及連結符號表徵的情形。整個研究主要分成二個實驗活動進行。第一個實驗活動的目的在分析大學生透過動畫觀察、實物操作、語意描述等三種不同的媒介方式，其建構心臟線圖形結構與連結參數式的情形。第二個實驗活動的目的在分析大學生透過不同型式的動畫及書面上的圖形，其建構心臟線圖形結構與連結參數式的情形。第一個實驗研究結果顯示，在幫助受測者建構正確且連續的點軌跡心像上，動畫觀察優於實物操作，實物操作優於語意描述；在幫助受測者掌握動點圖形結構與角度變化的關係上，動畫觀察及實物操作都明顯優於語意描述。在幫助受測者將圖形與符號變換的情形上，動畫觀察優於實物操作，實物操作優於語意描述。第二個實驗研究結果顯示，在幫助受測者建構正確且連續的點軌跡心像上，T-P動畫觀察、T-I動畫觀察及靜態圖形觀察都優於T-S動畫觀察；在幫助受測者掌握動點圖形結構與角度變化的關係上，T-P動畫觀察對於受測者掌握圖形結構的動態變化上，明顯優於其它三個媒介工具，而靜態圖形觀察主要會幫助受測者掌握靜態的圖形結構性質，T-I動畫觀察、T-S動畫觀察則很難幫助受測者掌握圖形結構與角度變化的關係。在幫助受測者將圖形與符號變換的情形上，T-P動畫觀察優於靜態圖形觀察，而T-I動畫觀察、T-S動畫觀察則都比較不能幫助受測者將圖形與符號變換成功。由實驗結果顯示，動畫雖可激發個體建構心像以連結符號表徵，但也因不同型式的動畫產生不同效果。因此在用動畫輔助圖形參數式的相關教學時，設計動畫時需要注意是否有強調出參數的存在性及圖形結構變化與參數之連續性變化的關係，它會影響學生被動畫所激發出的心像操弄，而影響其對圖形與符號連結之掌握程度。
不同學習階段學生在四邊形及其包含關係的認知表現
(2019) 詹凡儀; Chan, Fan-Yi
本研究目的在了解小學五年級學生到高中學生，及數學系的師培生對於四邊形及其包含關係的認知結構。本研究以Taro Fujita& Keith Jones(2006, 2007)以及Taro Fujita(2008,2012)的四邊形及其包含關係的架構為基礎，並參考Michael de Villiers(2009)以及Emine Gaye ÇONTAY& Asuman DUATEPE PAKSU (2012)的問卷內容來設計問卷。本研究之對象為臺北市學生從五年級一直到師培生。本次總計26個班，共895份問卷。進行無效問卷處理(題目未答、亂答者)，共727份有效問卷，有效回收率達81.2%。依據四邊形的認知結構編碼：H0透過外形來辨識四邊形，H1透過典範圖形的組成元素進行及其分類，H2透過圖形的部分的組成元素和性質並直接且明顯的進行包含的層次關係，H3-1透過圖形之間的組成元素與性質關係並完整但直觀的進行包含的層次關係，H3-2透過四邊形之間的性質關係辨識四邊形並依非形式演繹的說明四邊形的包含層次關係，H4透過四邊形之間的性質關係辨識四邊形並嚴謹邏輯的說明四邊形的包含層次關係；本研究發現： 1.將五年級學生到師培生共分為四個階段。五到七年級為第一階段，八年級與九年級年級為第二階段，高中生為第三階段，師培生(中等教程、小學教程)為第四階段。 2.第一階段學生在個人的概念定義表現為編碼H0，只能畫出圖形，對於使用文字描述特殊四邊形是非常困難的。在概念心像的表現則為編碼H1，使用典範圖形判斷四邊形，沒有建立特殊四邊形的包含關係。 3.第三階段學生略優於第二階段學生。兩個階段學生有一半以上學生能夠正確寫出各種四邊形的定義，編碼為H2。在概念心像的表現為編碼H3-1，平行四邊形、長方形、菱形與正方形之間的包含關係已經完整。有一半的學生有完整的箏形的包含關係。有三成的學生因梯形定義不清而認為梯形包含平行四邊形、長方形、菱形、正方形、箏形。 4.第四階段學生已經有特殊四邊形的完整的包含關係。但也有三成的學生因梯形定義不清而認為梯形包含平行四邊形、長方形、菱形、正方形。此階段學生大多數之編碼為H3-2，即van Hiele的非形式演繹期。有部分學生能達到H4，為van Hiele的形式演繹期。研究建議未來可以增加平行四邊形與正方形包含關係之問題，或是對其他地區、非數學系的國小師培生來進行研究。也可嘗試將問卷題目做分割來取得更多有效問卷、增加問卷效度或是將問卷題目之語句做更改增加誘答力。
中國近代數學發展(1607-1905)：一個數學社會史的進路
(2013) 蘇俊鴻
1607年，徐光啟(1562-1633)與利瑪竇(Matteo Ricci, 1552-1610)兩人合譯的《幾何原本》刻本問世，標幟著西方數學有系統引入的開始。1905年，光緒決定廢除科舉制度，以利學堂的推廣，代表著中國的教育制度與現代教育制度的接軌，連帶著中國傳統數學邁向數學的現代化。回顧這近三百年的中國數學的發展，可說是在傳入的西算主導下，傳統中算被迫與之對話的曲折過程。當然也反映了在地脈絡如何發揮調適與吸納的功能，從數學社會史的研究進路正是為了突顯此一現象。基於此，我們才能更清楚乾嘉學派對於算學發展的重要性，也對於算學「專門之學」的學術傳統的形成有更具體的了解。同時，受到社會文化因素的影響，中國傳統數學(中算)與西方數學(西算)之間的互動與對話，彼此的會通很難有一種概括性的範例出現。本論文特別列舉「勾股 vs. 幾何」、「杜氏三術 vs. 割圓術」以及「借根方 vs. 天元和天元 vs. 代數」為例，說明各種不同的會通模式。經過這三百年的全面爬梳，我們發現算學的知識位階及算學家的社會地位在清代學術逐漸的上升的現象，並且鉤沉出清代算學發展如此蓬勃發展的真正原因：學術贊助的支持。正是因為這些學術贊助的支持，才使得算學的知識位階及算學家的社會地位在清代學術可以逐漸上升。進而，促使晚清出現具有數學專業意識的學者群體，迅速與現代數學接軌，完成了中國傳統數學西化的歷程。當然各個學術贊助對於算學的影響，以及學術贊助之間的相互比較，本論文只作了初步的描述與分析，更深入的討論是將來努力的方向。
中學數理師資培育整合型研究計畫(I)
(行政院國家科學委員會, 2008-07-31) 李田英; 金鈐; 曹博盛; 張文華; 楊文金; 黃芳裕; 張俊彥; 童麗珠; 黃福坤; 羅珮華; 洪志明; 陸健榮; 謝豐瑞; 左台益; 張永達; 楊芳瑩
本計劃擬發展中等學校數學與科學(以下簡稱數理)師資的教育學程，第一年將採用問卷調查法、專家座談及訪談等方法，分別搜集中等學校教務主任、實習輔導教師及新進數理教師們對現行中等教育學程之優、缺點之看法，及科學教育、數學教育研究的結果為基礎與師培機構之學者們的理想之數理教育學程，以差距分析法分析現實與理想師資學程之差異。以決定數理教育學程之科目及內容。第二年將以國立臺灣師範大學理學院的學生試用第一年所規劃之數理教育學程，同時發展評量中等學校數理教師專業素養之規準。第三年評量本研究所設計的中等學校數理教育學程之成效。
中學數理師資培育整合型研究計畫(II)
(行政院國家科學委員會, 2009-07-31) 張文華; 張俊彥; 楊芳瑩; 童麗珠; 楊文金; 謝豐瑞; 左台益; 洪志明; 張永達; 曹博盛; 羅珮華; 李田英; 黃芳裕; 黃福坤; 陸健榮; 金鈐
中學數理師資培育整合型研究計畫(III)
(行政院國家科學委員會, 2010-07-31) 李田英; 金鈐; 張俊彥; 黃福坤; 陸健榮; 張文華; 左台益; 謝豐瑞; 洪志明; 曹博盛
中學生平行線概念認知結構之研究
(2007) 張敬楷; Chang Ching kai
本研究目的在分析中學生對於平行線的概念結構和推理形式，並根據認知負荷理論設計平行線單元的教學活動，探討是否能提升中學生的推理能力。研究過程主要分成兩個階段，第一階段先以深度訪談方式分析五位個案(五年級及七到十年級各一位)平行線概念的認知結構，再以問卷施測方式分析88位八年級學生平行線認知類型及推理方式。第二階段根據認知負荷理論，設計平行線單元的教學活動，分別以教學策略(局部推理)以及資訊融入教學(引入動態幾何軟體)為變因的四種不同的教學環境，探討中學生的推理層次的變化和認知負荷量。主要研究結果如下： 1.五位個案對平行線的概念心像中，心智圖像以圖形為主，生活實物為輔；概念屬性包括截角性質等幾何性質。五年級和七年級兩位個案的概念定義是由描述概念心像所產生，譬如兩直線不相交。八到十年級三位個案的概念定義為兩直線共垂直一條線。 2.四組實驗教學的學生在教學實驗前主要以直覺辨識處理平行線推理問題，少數學生會嘗試利用特殊例去做推導。實驗教學後部分學生可以使用邏輯演繹的方式來推理。 3. 實驗教學後發現，局部推理可激發學生嘗試運用邏輯演繹作推理，但因局部推理缺乏完整的推理架構，而造成學生推理完整性的困難。動態幾何軟體能提示學生運用邏輯推理，部份學生可以將推理層次發展較完備的形式演繹。四組中，以動態幾何環境下的局部推理組學生的概念層次提升最明顯。
中學科學教師之教育學程修習狀況與成效
(國立臺灣師範大學科學教育中心, 2008-08-01) 李田英; 曹博盛; 左台益; 謝豐瑞; 黃福坤; 陸健榮; 張俊彥; 楊芳瑩; 洪志明; 黃芳裕; 張文華; 張永達; 童麗珠; 楊文金; 羅珮華
中學科學教師之教育學程修習狀況與成效
(臺灣師範大學科學教育中心, 2008-08-??) 李田英; 曹博盛; 左台益; 謝豐瑞; 黃福坤; 陸健榮; 張俊彥; 楊芳瑩; 洪志明; 黃芳裕; 張文華; 張永達; 童麗珠; 楊文金; 羅珮華
二次函數數位教學分析與設計之研究
(2013) 柯慶安; Ching-An Ko
本研究目的在於「設計二次函數課程的數位教學環境」，以幫助高中學生學習二次函數概念，並探討在此學習環境下，其學生的二次函數之概念結構與表徵整合能力。本研究共分成兩部分，第一部份透過內容分析法來分析國高中二次函數課程素材結構，及設計問卷以分析國中生二次函數概念結構。再根據數學概念的多重表徵理論以及分析的結果，發展高中二次函數的數位教學活動，以進行第二部分的準實驗教學研究。兩組變因在於呈現多重表徵的環境不同，實驗組進行動態鏈結多重表徵的數位教學，而對照組則以靜態海報呈現多重表徵的教學。研究結果顯示，依據本研究的設計所進行的高中二次函數教學活動，均有助於兩組學生形成高中二次函數概念。而特別對中等程度學生而言，動態鏈結多重表徵的教學效果顯著地優於靜態圖形海報的教學。從學生作答情形與訪談資料進一步分析，我們可以發現動態鏈結多重表徵的數位教學方式呈現有助於學生： 1. 掌握二次函數的概念定義。 2. 進行二次函數的概念膠囊化與解膠囊化過程。 3. 對二次函數的圖形變動產生動態心像並能說明代數式係數變動意義。 4. 能增長二次函數代數結構與圖形表徵的轉移以幫助理解二次函數的正定性。動態鏈結多重表徵的教學環境設計，能夠將數學概念中表徵的連結關係以連續、即時性的方式具體的呈現出來，此呈現方式有助於學生連結及形成整合多重表徵能力，用以解決問題。
《代形合參》之初探
(2017) 蘇之凡; Su, Jhih-Fan
清末的中國正值西方世界的叩門，此段時期因為政治外交的因素，使得大量西學被引入了中國清朝，而這相當多量之西方譯本，也仰賴當時從西方來華的傳教士們，本書亦為其中之一。《代形合參》的底本為《解析幾何原理》（The Elements of Analytical Geometry），是美國數學家伊萊亞斯．羅密士（Elias Loomis, 1811－1889）所著，筆者所研究之版本是大清宣統二年歲次庚戌（1910），由當時在華的美國傳教士潘慎文（Alvin Pierson Parker, 1850－1924）為譯文者，謝洪賚先生為筆述者。在《代形合參》之前的解析幾何相關翻譯著作中，就屬中國清朝數學家李善蘭（1811－1882）和偉烈亞力所譯的《代微積拾級》（1859），此中譯本的前九章亦為解析幾何之內容，但是僅有平面解析幾何，並無立體幾何與圓錐截痕部份，此在《代形合參》中則加以補齊。《代形合參》一書為清末所興起之各學堂的數學通用教科書之一，內容分為三卷，除了「卷一有定式形學」與「卷二無定式形學」兩卷為平面幾何外，還介紹了立體幾何部分的「卷三立方形學」。另外，最後的附錄部分，則是描述如何利用座標法來繪製溫度曲線、地理曲線和氣象曲線等。《代形合參》大抵已初步介紹當代的解析幾何所涵蓋內容，在當時是一本專門地系統地闡述西方解析幾何的書籍，甚至其中的「直線」、「論圜」、「拋物線」、「橢圓」、「雙曲線」、「立方形學」等卷章，亦是現在高中數學教科書的重點內容之一，因此，值得我們研究探討與比較。
以分段方式降低任務複雜度對專家與生手閱讀幾何證明的影響
(國立臺灣師範大學教育心理學系, 2011-11-??) 左台益; 呂鳳琳; 曾世綺; 吳慧敏; 陳明璋; 譚寧君; Tai-Yih Tso; Feng-Lin Lu; Shyh-Chii Tzeng; Huei-MinWu; Ming-Jang Chen; Ning-Chun Tan
本研究旨在探討將一個複雜的幾何證明用分段方式呈現，以降低任務的複雜度對專家與生手在認知負荷感受與閱讀理解之影響。依據數學結構及Duval（1998）的推理資訊組織層次將幾何證明分成分段與未分段兩種文本方式呈現，並將專家（亦即，28 位準中學數學教師和21 位中學數學教師）與生手（66 位八年級學生）隨機分派於不同呈現方式的組別中，以瞭解其認知負荷感受與閱讀理解的情形。研究結果顯示：（1）不論是對專家或對生手而言，證明文本以分段方式呈現，有助於提高其閱讀意願以及降低其閱讀證明時的困難度和所花費的心力，但對他們在閱讀理解的表現上，則未造成顯著差異。（2）不論證明文本以分段或未分段呈現，專家的閱讀意願與信心指數皆顯著高於生手，而其閱讀證明時的困難度和所花費的心力則顯著低於生手；且專家的閱讀理解表現也顯著優於生手。本研究依據研究結果，對幾何證明的後續研究與教學提出可能的教學策略與建議，以做為學術研究與教學實務工作者參考之用。
以分段方式降低任務複雜度對專家與生手閱讀幾何證明的影響
(國立臺灣師範大學教育心理學系, 2011-11-??) 左台益; 呂鳳琳; 曾世綺; 吳慧敏; 陳明璋; 譚寧君; Tai-Yih Tso; Feng-Lin Lu; Shyh-Chii Tzeng; Huei-MinWu; Ming-Jang Chen; Ning-Chun Tan
本研究旨在探討將一個複雜的幾何證明用分段方式呈現，以降低任務的複雜度對專家與生手在認知負荷感受與閱讀理解之影響。依據數學結構及Duval（1998）的推理資訊組織層次將幾何證明分成分段與未分段兩種文本方式呈現，並將專家（亦即，28 位準中學數學教師和21 位中學數學教師）與生手（66 位八年級學生）隨機分派於不同呈現方式的組別中，以瞭解其認知負荷感受與閱讀理解的情形。研究結果顯示：（1）不論是對專家或對生手而言，證明文本以分段方式呈現，有助於提高其閱讀意願以及降低其閱讀證明時的困難度和所花費的心力，但對他們在閱讀理解的表現上，則未造成顯著差異。（2）不論證明文本以分段或未分段呈現，專家的閱讀意願與信心指數皆顯著高於生手，而其閱讀證明時的困難度和所花費的心力則顯著低於生手；且專家的閱讀理解表現也顯著優於生手。本研究依據研究結果，對幾何證明的後續研究與教學提出可能的教學策略與建議，以做為學術研究與教學實務工作者參考之用。