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Note on Embeddable Dihedral Groups of Automorphisms of Riemann Surfaces
(國立臺灣師範大學研究發展處, 1980-06-??) 林福來
黎曼面上的二面體自守函數群，當其兩個母元素中的一個沒有定點時，此群可嵌入三維空間成為旋轉的條件，我們已有專文討論。另外，當兩個母元素都沒有定點時，其可嵌性如何，就是本文的主題。我們研究發現，原來的條件不足，需要增加新條件，同時原有的某些條件也需要修正。我們証明新加的條件與修正後的條件都是必要的。驗証後，指出這些條件也可導出二面體群的可嵌性。
Textbooks as the Source of Learning Mathematics
(國立臺灣師範大學研究發展處, 1983-06-??) 林福來
本文將影響學習者使用教科書學習數學的因素歸納為六項，即可讀性，編寫方式，單元序列、動機、應用及作業等等。文中主要是分析各個因素的重要性極其影響性，並歸結出一些可增進教科書功能的看法。接著以三套不同版本的中學教科書為例，選定書中的同一個單元「機率」，根據上述因素，進行因素分析，最後討論的是數學教科書，由誰來編寫比較適當的作者問題。
The Effects of Proof Features and Question Probing on Understanding Geometry Proof
(教育研究與評鑑中心, 2008-06-??) 楊凱琳; 林福來; 王繹婷
本研究主要探討的問題是：不同寫法、不同複雜度和不同種類的理解問題對學生理解幾何證明有何影響？在理論上，採用Duval的組織敘述之3種層次做為不同種類的理解，依此設計工具測驗153位國三學生對幾何證明的理解。研究結果顯示：1.不同寫法、不同複雜度和不同種類的理解問題之間沒有交互作用；2.局部理解是最容易的；3.不同複雜度會影響學生在局部理解和整體理解問題的表現。以上結果的一般性仍受限在沒有給命題的證明文本之測驗情境。在安排閱讀幾何證明的學習序列時，編輯者應該要考慮混合證明步驟數和命題熟悉度的複雜度因子。最後，本文將會提出進一步的研究議題。
一位實習教師的專業社會化歷程
(國立臺灣師範大學研究發展處, 2001-10-??) 張淑玲; 林福來
本研究利用詮釋性研究法來分析實習教師在教育實習中的過渡問題。從一位數學實習教師的個人屬性與實習學校環境間之互動情形，本文探討其教學專業之社會化歷程。研究發現，行政人員之角色期望與實習教師之人格需求有衝突時，導致實習教師改變其教育理念、教學思維，並衝擊其情意層面；實習教師若強烈認同某校文化，就較容易在他校經驗較大之文化衝突。影響個案教學知能成長的原因有：行政實習導致個案之教育理念無法落實，教學思維因而改變；實習輔導教師與個案之教學方式契合及未直接介入，強化個案補習班名師式之原生教學觀，加上個案反思之不足，其教學知能因而呈現單一教學策略成長現象。最後，討論教師在教學實作中可行的學習理論。
一位生手師培師輔導在職數學教師設計臆測活動的專業成長：聚焦輔導策略演化的學習
(2015) 陳建誠; Chen, Jian-Cheng
臆測是數學思考的骨幹，學生參與臆測活動有助於數學能力的養成，教師學習設計臆測活動是落實臆測於課室教學的主要手段，而師培師規劃與實施臆測活動設計工作坊便是協助教師學習的關鍵支撐，因此，師培師如何規劃、如何實施及如何反思調整臆測活動設計工作坊是重要的研究問題。本篇研究探討一位參與教育部中央輔導團亮點基地計畫的生手師培師，如何透過行動研究法探索自己輔導學校數學教師設計臆測活動的專業成長，特別是聚焦在促進策略的演化。本研究的師培師透過行動研究探究輔導實作的成果便是專業學習，包含：(1)建構臆測活動設計工作坊的課程內容與實施方式；(2)察覺設計為本工作坊所容易引發師培師與教師張力並形成輔導問題；(3)因應輔導問題調整課程內容與實施方式並促成促進策略的演化：由內容學習為取向到學生學習為取在再到教師學習為取向；(4)認識教師參與設計為本工作坊的表現，包含設計臆測活動的能力、對學生學習的敏感度及學校專業學習社群的營造等；(5)反思設計為本專業發展工作坊規劃與實施的原則，包含設計為本的入口活動、進擊活動和回顧活動等。最後，研究者根據本行動研究結果，提出初任師培師的局部發展和設計為本教師專業發展兩方面的實作和研究之建議。
中國大陸的中學數學課程現況
(臺灣師範大學科學教育中心, 1988-09-??) 林福來
中學生偶數代數表徵的思維發展
(2009) 許雯琇
學生很早即認識偶數，但是國中才開始學習以符號代表數，高中才開始運用「偶數=2k」作形式演繹的論證，學生要從既有的偶數概念發展出能以偶數一般式2k運思偶數的2k思維，其思維必須經過一些面向的發展，本研究希望能找出偶數概念到2k思維的發展面向，並依此建立一個發展階段來描述中學生2k思維的發展情形。本研究採用問卷調查法進行研究，並在國中七年級到高中三年級每個年級各抽樣一個班級進行施測，取樣方式為方便樣本，因此本研究的結果將只說明本研究取樣的學生的表現，並非一般中學生的2k思維發展情形。本研究的研究結果發現，從偶數概念到一般化的2k思維得經過四個面向的發展，分別為具體到抽象、思維方向的可逆與不可逆、物化2k表徵、以及特例到一般，利用這四個發展面向可以將學生的2k思維發展情形分成五個階段，分別是具體思維階段、不可逆思維階段、可逆思維階段、物化2k表徵階段、一般化思維階段，而具體思維階段、不可逆思維階段和可逆思維階段的學生在判別具體數的奇偶性時都可再分為有2k表徵行為和無2k表徵行為兩種類型，而可逆思維階段和物化2k表徵階段的學生在判別一個物件的奇偶性時都可再分為主動使用2k表徵策略和不主動使用2k表徵策略兩種類型。本研究的結果顯示，國中七年級的研究樣本學生大多屬於具體思維，八年級、九年級的研究樣本學生已有少數能發展出偶數的抽象表徵，但要到高中階段，才真正有研究樣本學生能具備一般化的2k思維。
台灣參加國際學生評量計畫(PISA 2006)之規劃與推動---電腦測驗工具及電腦素養問卷之研發(乙)
(行政院國家科學委員會, 2005-12-31) 邱貴發; 鄭湧涇; 張俊彥; 柯華葳; 郭重吉; 吳正己; 胡志偉; 鄭昭明; 林煥祥; 陳昭地; 張惠博; 林福來; 邱美虹
台灣參加國際學生評量計畫(PISA 2006)之規劃與推動---電腦測驗工具及電腦素養問卷之研發(甲)
(行政院國家科學委員會, 2005-12-31) 邱貴發; 郭重吉; 張俊彥; 林福來; 邱美虹; 柯華葳; 鄭湧涇; 胡志偉; 張惠博; 林煥祥; 鄭昭明; 陳昭地; 吳正己
台灣參加國際學生評量計畫(PISA 2006)之規劃與推動─電腦測驗工具及電腦素養問卷之研發(乙)
(2006-05-12) 邱貴發; 鄭湧涇; 張俊彥; 柯華葳; 郭重吉; 吳正己; 胡志偉; 鄭昭明; 林煥祥; 陳昭地; 張惠博; 林福來; 邱美虹
這個CBAS FT 計畫是PISA 預試(PISA FT)計畫下的選項計畫(Option)。目的在於將CBAS 試題中文化、CBAS 軟體中文化、及測試 CBAS 軟體、硬體、試題、及施測可能發生的問題。也可以視為在協助 OECD建立中文化軟體與軟體及測試 CBAS 的可用性。試題中文化、軟體中文化、及整個施測過程，皆如期完成。由於是預試，中文化及測試工作都是事務性工作，研究的成分不多。但從中文化及測試過程中，教授們都認為 OECD 的電腦化試題的呈現方式很好，軟體也合適，台灣應仿 OECD 模式，建立自己的學生評量方式與工具。但亦認為不宜仍用電腦化評量，應運用網路化評量。
台灣參加國際學生評量計畫(PISA 2006)之規劃與推動─電腦測驗工具及電腦素養問卷之研發(甲)
(2006-05-12) 邱貴發; 郭重吉; 張俊彥; 林福來; 邱美虹; 柯華葳; 鄭湧涇; 胡志偉; 張惠博; 林煥祥; 鄭昭明; 陳昭地; 吳正己
這個CBAS FT 計畫是PISA 預試(PISA FT)計畫下的選項計畫(Option)。目的在於將CBAS 試題中文化、CBAS 軟體中文化、及測試 CBAS 軟體、硬體、試題、及施測可能發生的問題。也可以視為在協助 OECD建立中文化軟體與軟體及測試 CBAS 的可用性。試題中文化、軟體中文化、及整個施測過程，皆如期完成。由於是預試，中文化及測試工作都是事務性工作，研究的成分不多。但從中文化及測試過程中，教授們都認為 OECD 的電腦化試題的呈現方式很好，軟體也合適，台灣應仿 OECD 模式，建立自己的學生評量方式與工具。但亦認為不宜仍用電腦化評量，應運用網路化評量。
台灣泰雅族國中生數學教學模式之研究-活動理論的探討與實踐
(2007) 黃志賢; Huang Chih Hsien
基於個人的教學經驗，以及對原住民教育的關心，研究者以兩年多的時間，在北部一所泰雅學校進行田野研究，整個研究歷程包括「初探性研究」以及「正式研究」兩個階段。在初探性研究中，研究者察覺到泰雅學校裡存在著「文化差異」的現象，因此，在正式研究階段，則以民族誌及紮根理論為主要研究方法，然後採用觀察、晤談與文件分析等方法蒐集研究資料；並從文化的角度，以活動理論為理論架構，深入理解泰雅社區與泰雅學校之間的文化差異現象，並分析此等差異對於教師教學、師生互動及泰雅學生學習的影響。目的在於分析影響台灣泰雅族國中生數學學習的文化因素，及據此進一步設計教學活動，以使其能參與數學教學/學習活動。主要的研究結果包括泰雅學生的數學學習張力、教學實踐的成效及研究方法的創新，分述如下：一、泰雅學生的數學學習張力 (一)學習動機與價值觀的不同泰雅學生到學校的動機不是為了習得知識，而是與同儕交易社會關係，明顯與學校教育的動機並不一致。不同的動機，導致教師的教學活動與學生的學習活動，雖然都發生在同一個教室裡，仿佛是兩條平行線。另一方面，動機之不同也導致價值觀：泰雅人的「樂天知命」與漢人的「萬般皆下品，唯有讀書高」的價值衝突。 (二)言說主義表徵系統與文字表徵系統的不同泰雅學生的思維模式仍以其泰雅文化為本，語言和文字對他們表徵的轉換和思考的模式的影響確實是存在的。這也導致泰雅學生對數學課本裡的語詞與語句理解感到困難。 (三)現在時間觀與未來時間觀的不同泰雅族的文化信仰是重視當下、「現在導向」的非線性時間觀，其推理思考的條件是建立在可見的現在。因此，泰雅學生較不擅長抽象的思考方式，係其文化信仰的時間觀使然。 (四)整體觀且賦予意義觀與部分觀的不同泰雅學生「整體觀及意義賦予」的思考方式會先將事物看成一個整體，再根據自身的生活經驗，賦予這個整體一個意義，最後根據這個意義連結部分與整體的關係以進行相關推理思考。由此可知泰雅學生著重整體情境的掌握，不習慣將事物切割成許多細目來做分析。所以，太精準的時間、太精細的計畫、太精確的學習，對泰雅族學生來說，似乎都構成某種無法承受之重。 (五)動態式視覺與靜態式視覺的不同泰雅學生的另一個思考特色是「動態式視覺」的思考方式，當教材的呈現方式和教師的教學是以「靜態式視覺」的方式呈現，學生並無法理解圖形之間的轉換關係。泰雅學生所習慣的「動態式視覺」思考方式並不是來自於學生認知能力的不足，而是來自於泰雅父母的教養方式。 (六)文化相容脈絡下的學習與文化離間脈絡下的學習的不同泰雅學生在教室裡經常出現的一個現象是，他們對於學習常常顯得沒有耐性，而且不經思考、衝動地回答問題，因而影響到他們的數學學習成就。其實，泰雅學生並非「衝動而不思考」，在泰雅學生的數學教室裡，與泰雅文化相離間的教材，與生活經驗脫節的情境佈置，才是導致泰雅學生在面對數學問題時，習於「不加思索」地回應，而影響他們的學習產出。二、教學實踐的成效本研究的賦權方案是從泰雅文化的精神層面出發，也就是考慮泰雅學生的思考方式與學習式態，配合學生生活經驗可及的活動。進一步發展出「活動導向的教學模式」，使數學學習能融入更多不同文化的思考及表達方式，讓泰雅學生能夠真正建構數學知識。研究結果顯示，只要能引領泰雅學生參與數學活動，能在教學中與學生多些互動，學生的主動參與性反而增加了，就能引發學生主動思考與討論的興趣，而且學生能察覺具體情境中所蘊含的數學概念。但是，傳統的數學教學卻壓抑了泰雅學生的主動性，其結果是學生不僅失去了主動思考與建構的機會，也未能習得數學知識。因此，本計畫將從泰雅學生的學習張力著手，透過程序性反駁學習套件來發展泰雅學生的數學思維與程序流暢及概念理解等數學素養。三、研究方法的創新本研究經由教室觀察及訪談，利用紮根理論進行資料分析與歸類，整合並修正Engestr m的活動系統與Leont'ev的活動層次，形成本研究教室活動的分析架構及教學活動的設計架構。我的研究歷程，可以提供一個從事原住民數學教育研究的參考，同時也提供教育研究者去思考實踐導向研究的相關重要議題，以及提供實施實踐導向研究的具體流程。希望藉由我的研究能發揮示範的作用，激發更多原住民教育研究者投入進行不同層面的實踐導向研究，包括教育行政、課程組織、教學現場、以及學校社區等，來理解原住民教育的全貌；為原住民數學教育提供另一條出路；擴展原住民數學教育研究的視野與觀點；同時為原住民學生創造出一個與其文化相容更公平與正義的教育環境。
合作成長小組促進國小教師數學教學知能與反思能力成長之探討
(2005) 張淑玲; Shu-Ling Chang
本研究以合作成長小組的互動做為促進參與教師數學教學專業成長的策略。本研究的目的在針對參與教師個人與合作成長小組的互動改變狀況，探討參與教師數學教學知能及反思能力之成長歷程及其成因。最後建立數學教師的學習模型。本研究採詮釋性研究法。研究者和台北市一所公立小學的三位一年級教師共同組成數學教學合作成長小組，進行一學年合作的介入研究。三位教師有二個特色，其一是具有成長動機的同校同學年的教師群，另一則是教學信念、教學經驗及人格特質不相同的教師。在研究的過程中，研究者扮演參與觀察者、促進者及探究者的角色。合作成長小組利用每週半天的時間進行教學研討。活動的內容隨著參與教師的學習需求、意願、不足之處及共同形成的目標而做調整。活動內容包括教學活動設計、學生解題類型分析、數學教學案例的討論、教學問題的討論、文獻的研討、教學影帶評析等，最後共同完成一份行動研究報告。本研究蒐集的資料包括教師教學錄影與錄音、合作成長小組教學研討錄音、教師設計的學習單、反思札記、e-mail、教學研討文件、對學生的解題類型分析、教學計畫、行動研究報告、學生的學習單、學生的施測結果、研究者的札記等。訪談對象包括參與教師、兩位實習教師、學生、行政人員等。所有錄音和錄影資料皆轉錄成逐字稿。本研究遵循Cobb and Whitenack(1996)分析大量質性資料之方法學分析資料。就合作成長小組的互動分析而言，本研究由量的分析瞭解教師互動的概況，由質的分析深入探討教師互動的內涵。研究者選出明顯反應心理和社會互動關係的非等價事件，據此統計合作成長小組互動的交互影響次數及百分比，並將之視覺化。就數學教學知能與反思能力成長的分析而言，本研究分別依據Franke, Carpenter, Levi, and Fennema (2001)的教師發展層次架構及Ward and McCotter (2004)的反思等級架構分析。本研究採多重資料來源、多重資料蒐集程序、多重時間及不同分析者的三角校正，以確保資料的信效度。本研究由實徵資料歸納出區分教師學習類型的五個範疇：知識類型、學習教學的思維模式、教學知與行的關係、教學取向、數學教學信念。此五範疇及教學知能與反思層次架構將數學教師區分成四種學習類型：素樸型、理論型、實務型、實踐型。成為實踐型教師是教師專業發展的目標。本研究以活動理論和實作認知理論為理論基礎，由實徵資料形成了兩個模型。其一為數學教師個人與合作成長小組的互動成長模型。製造認知衝突、鼓勵實驗驗證是促進教師專業成長的重要機制。合作成長小組的外在刺激促進教師個人進行社會性反思及教學實驗。教師個人對教學實作做自我性或社會性反思，產生新的知識或信念；再根據該知識或信念透過自我性或社會性反思，實踐於教學中。然後再對教學實作做自我性或社會性反思，再產生新的知識或信念，如此循環不已，教師個人的教學知能因而不斷成長。相對地，教師個人的知識、信念或教學亦會影響合作成長小組其他成員的知識、信念或教學。因此，合作成長小組成員透過彼此的互動，帶動彼此的成長。另一為數學教師的學習模型。數學教師依據數學教學知識或信念，透過社會性或自我性反思形成教學目標。根據教學目標產生教學行動的規則。其行動中的概念主要來自於數學教學知識或信念，據此對教學的情況進行分類和選擇有關教學的資訊。依據教學行動中的定理，從教學可得的相關資訊推論適當的教學目標及規則。由於教學知識或信念的改變，透過反思引動教學實作認知的改變。反之，教學實作認知的改變，透過反思引動教學知識或信念的改變。不同學習類型教師知、思、行三者間之不同互動模式，導致數學教學知能的不同成長結果。三者間越頻繁的互動，越能帶動教學知能的成長。就理論的貢獻而言，由數學教師的學習模型可以瞭解不同學習類型教師的成長模式及促進其專業成長的策略。由數學教師個人與合作成長小組的互動成長模型可以瞭解合作成長小組互動成長的機制及促進互動成長的可行途徑。就教師教育的意涵而言，此二模型有助於在職教師專業發展計畫的規劃及實施，設計符合參與者學習特質的專業發展活動。就方法論而言，目前缺乏分析教師互動的有效工具。本研究質、量並重的創新分析方法可成為分析教師互動的可行工具。
國三學生突破因附圖造成之論證障礙的學習歷程之研究
(2002) 李宜芬; Yi-Fen, Li
本研究探討國三學生作幾何證明時，命題中的附圖所造成的幾何論證障礙，及障礙形成的原因；據此設計相關的探究活動，以小組合作學習方式提供學生充分操作圖形及自行構圖的學習活動，觀察學生在此學習環境下，突破論證障礙的學習歷程，以建立幾何論證能力的發展機制。本研究主要分為兩個階段，第一階段為國三學生學習現況的調查，研究樣本為已修畢幾何證明的國三學生，共兩個班級74位學生接受問卷，第二階段為探究活動的實施，主要有6位學生參與；採用的研究工具在第一階段研究中有基本幾何圖形概念問卷、幾何證明有效性瞭解問卷、幾何證明能力問卷等三份問卷，而第二階段採用的研究工具有學習本以及偵錯問卷。研究方法主要為詮釋性研究法。探究活動採參與觀察研究法。蒐集的資料有學生問卷的卷面作答情形、探究活動中學生的對話文字稿及學習本內學生所記錄的圖形操作及構圖過程。針對本研究之研究目的，主要的研究結果如下： (一)國三學生對基本幾何圖形的瞭解源自其典型圖形心像的屬性。 (二)不同附圖形式的改變對於國三學生在論證有效性瞭解上造成影響。 (三)國三學生因附圖形式而造成的幾何論證障礙有：(1)依照典型圖形心像訂定推論目標(2)因附圖視覺表徵導致過度一般化典型圖形之屬性或引用錯誤性質，而造成推論障礙。 (四)在合作學習的情境下，國三學生能經由充分操作圖形及自行構圖的過程，將定義時不要之屬性命題化，進而形成圖形之定義並發現圖形間的包含關係。 (五)瞭解圖形定義的國三學生，能依照題意呈現不同附圖方式，因此能瞭解證明有效性並突破附圖所造成的幾何論證障礙，進行證明。
國中生的比例概念發展
(臺灣師範大學科學教育中心, 1986-02-??) 林福來; 郭汾派; 林光賢
國小高年級學生在立方積木三視圖的推理表現
(台灣數學教育學會、國立臺灣師範大學數學系共同發行, 2018-04-??) 陳韻如; 楊凱琳; 林福來; Yun-Zu Chen, Kai-Lin Yang, Fou-Lai Lin
本研究的目的在了解國小高年級學生在立方積木三視圖的推理表現，並探討年級、操作工具和任務類型對學生解題的影響。本研究中，界定立方積木為限制內嵌於2 × 2 × 2的正方體且不得懸空的立體圖形。研究者自編立方積木三視圖測驗，該測驗包括「視圖與立體圖的對應」、「由底層和視圖計數」和「視圖與視圖的對應」三種分測驗，測驗的目的在以三視圖評估學生空間推理的表現。研究樣本為台北市國小高年級學生：五年級學生127名、六年級學生133名。施測時按操作工具的有無將學生以班級為單位隨機分派為積木操作組和心智想像組。研究結果發現：（1）六年級學生的表現顯著優於五年級學生。而操作工具的有無，學生的作答表現並無顯著差異。（2）「視圖與視圖的對應」顯著較「視圖與立體圖的對應」和「由底層和視圖計數」困難。進一步檢驗不同視圖所造成的影響，發現在積木由堆疊產生的情境下，提供俯視圖有助於學生的推理表現。（3）依據學生三視圖的作答表現，共區分出四種類型：試誤法、序列思考、協調，和整合。
圓錐曲線的“根"
(臺灣師範大學科學教育中心, 1978-09-??) 林福來
培養創造力的教學思維啟動力
(國立臺灣師範大學特殊教育中心, 2006-03-??) 林福來; 徐健倫
本文為國科會林處長在第一屆中學科學資優教學競賽的專題演講紀錄。林處長提出創造力教學有三種啟動力：直觀（洞察）、類比（同化）與連結（順化），為資優教育注入新的教學觀念。
幾何學是什麼?
(臺灣師範大學科學教育中心, 1978-11-??) 林福來
建構中學生對幾何證明閱讀理解的模式
(2004) 楊凱琳
本研究的目的為：(1) 探討中學生在幾何證明閱讀理解認知面向上的特徵，(2) 探討知識和邏輯對中學生幾何證明閱讀理解的影響。希望基於實徵研究的結果，除了在理論上擴充數學理解的認知發展，也在實務上提出可統整獲取知識、建立邏輯與理解數學證明的假設性學習路徑。本研究係採質與量兼併的方式進行幾何證明閱讀理解的分析，希望透過調查研究法探討中學生在幾何證明閱讀理解的實際表現和自我評估，以及瞭解知識和邏輯推理因素對於此表現的解釋力。另一方面，也希望透過訪談研究法對於學生評析幾何論證有效性的思考特徵作進一步的探討。研究的主要結果為：一、幾何證明閱讀理解的面向包含：表層理解、邏輯定位理解、摘要統整理解、一般性理解、應用推廣理解和賞析理解。二、邏輯定位理解在學生實際表現和自我評估上佔有不同的地位。學生主要以偏向評估表層理解的標準來評估「為什麼」某些步驟是正確的，但當以區分邏輯和認識上的真以及辨識所引用的性質或事實來測量學生是否真正理解「為什麼」時，其表現結果和表層理解表現的相對關係就低於學生在這兩個面向上自我評估的相對關係。三、以知識和概念情境中直接確認邏輯二個變項預測國三學生在一階段幾何證明閱讀理解表現，結果可以解釋總變異的54%；也以這二個變項預測國三學生在二階段幾何證明閱讀理解表現，結果可以解釋總變異的32%。四、中學生評析幾何論證有效性的思考特徵有「不當特殊化論證過程」以及「過度一般化論證過程」。可能造成不當特殊化論證過程的認知方式有：(1)以數字檢驗形式證明；(2)受限於未畫出來的圖形；(3)把例子中的某種規律視為前提。可能造成過度一般化論證過程的認知方式有：(1)擴充演算法或動態圖形的有效性； (2)強化圖形或數字的效用；(3)開放前提或結論的位置；(4)增加前提或結論的強度。五、除了知識和邏輯外，本研究進一步闡述述三種妨礙學生進一步理解幾何論證的因素：(1)未意識到自己誤解的可能性；(2)未區辨證明與解說的不同；(3)排斥或不喜歡不瞭解的資訊。六、幾何證明閱讀理解層次包含：表層理解、辨識元件理解、鏈結元件理解和膠囊化理解。分析各理解層次間的實際表現，發現幾何證明閱讀理解層次的發展可能有兩類，一是從表層理解、辨識元件理解、鏈結元件理解至膠囊化理解層次循序漸進地發展，本研究稱為「關係性理解型態」；二是從表層理解跳至膠囊化理解層次，再回到辨識元件理解和鏈結元件理解間的發展，本研究稱為「工具性理解型態」。根據上述的結果，本研究對於幾何論證的教學提出一個關於獲得知識、建立邏輯與解讀幾何論證間的假設性學習路徑，如下圖。以概念心像為學習起點，分別經由表層理解、辨識元件理解、鏈結元件理解發展至膠囊化理解，本研究所建議的學習活動有：閱讀策略的引導，情境中邏輯判斷的練習，下定義過程的經驗，局部推理的嘗試，連結概念情境和記號情境的邏輯判斷，自我評估和實際表現的衝突，圖文互相轉換的協調，應用導向的論證問題。