勾股定理幾何證明探究

Abstract

本研究旨在探討勾股定理的幾何多樣證明。以學生的角度看勾股定理有兩種不同的表達方式： 1.直角三角形直角邊上的兩個正方形面積之和等於斜邊上正方形的面積(面積 概念的勾股定理) 2.直角三角形斜邊長度的平方等於兩個直角邊長度的平方和(數的勾股定理)。

在數學教學上採用具體操作較能讓學生了解概念，也是學生接受度較高的教學方式，經由本研究分析了魯米斯勾股定理一書中的50個幾何證明，發現其中有些是可以透過拼圖概念，再搭配與團隊開發使用電腦Flash軟體的操作，以加強學生對勾股定理的認識。

國中學生在勾股幾何圖形的拼圖能力表現上，透過平移、旋轉重組圖形的表現明顯優於翻轉組合圖形的能力，而利用圖形之間底與高的長度計算，將長方形面積轉換成平行四邊形面積或兩倍三角形面積，再進一步得到最終的正方形面積，對國中學生來說是可接受的勾股定理幾何證明方法。

本研究所探究的勾股定理幾何證明中，常利用延長線與平行線的輔助切割技巧，也利用全等圖形間轉換元件的拼圖概念，與四邊形推移後可計算出等面積的概念，最終的目標皆是證明斜邊上的正方形面積等於兩股構成的兩個正方形面積之和。

國中學生在勾股定理的幾何證明中，常遇到的挫折有：(一)無法清楚判斷全等關係，(二)難以很快的透過旋轉的動作，判斷出兩圖形的全等，(三)很難明顯判斷出兩圖形面積轉換時的底高相對位置。希望透過本研究，能擴充在職教師對勾股定理的幾何證明類型，也讓中學生體驗到幾何證明的趣味，將來有助於在數學教學與選修課程中作為延伸的輔助教材。